Max-Planck-Institut für Physik komplexer Systeme Dresden Das Institut wurde 1993 gegründet und nahm 1994 seine Arbeit in einem Provisorium in Dresden auf. Es wird im Endausbau aus drei theoretischen Abteilungen bestehen, die sich mit dem Studium und der Beschreibung komplexer Systeme befassen. Dazu zählen unter anderem solche mit einer nichtlinearen Dynamik, große Moleküle, welche eine Brücke zwischen Quantenchemie und Festkörperphysik schlagen, sowie mesoskopische Systeme. Neben dem eigenen wissenschaftlichen Programm wird das Institut Seminare von je rund sechsmonatiger Dauer organisieren, die jeweils besonders wichtige, sich in der Entwicklung befindliche Themen aufgreifen sollen. Das Ziel ist, auf diese Weise Neuentwicklungen in der Forschung an komplexen Systemen dem Hochschulnachwuchs frühzeitiger als bisher nahezubringen. Am 1.1. 1995 nahm eine wissenschaftliche Nachwuchsgruppe ihre Arbeit zum Thema: ”Nichtlineare Zeitreihenanalyse” auf. Gründungsdirektor: Prof. Dr. Peter Fulde Nachwuchsgruppe ”Nichtlineare Zeitreihenanalyse” (seit 1.1.95) Leiter: Dr. Holger Kantz 18 Mitarbeiter, davon 13 Wissenschaftler; dazu 18 wissenschaftliche Gäste und Doktoranden; von denen einige aus Platzgründen bis 1997 in der Außenstelle Stuttgart tätig sind. Arbeitsgebiete Das Institut befaßt sich mit einer Vielzahl komplexer Systeme, Schwerpunkt sind insbesondere die Beschreibung elektronischer Korrelationen in großen Molekülen und Festkörpern, die Behandlung von 4f und 5f Elektronen, das Studium nichtlinearer Dynamik durch die Analyse von Zeitreihen sowie die semiklassische Beschreibung chaotischer Systeme. Aktuelle Forschungsschwerpunkte Semiklassische Quantisierung Chaotischer Systeme Komplexe Systeme zeichnen sich oft durch ein scheinbar irreguläres oder auch stochastisches Verhalten aus. Im folgenden soll anhand eines Modells gezeigt werden, daß ein detailliertes Verständnis spezieller Eigenschaften solcher Systeme möglich ist. Als Beispiel für scheinbar irreguläres Verhalten können Widerstandsfluktuationen von sehr kleinen metallischen Drähten oder von GaAs/Alx Ga1-x As-Heterostrukturen in einem Magnetfeld gelten. Im ersten Fall führt die Streuung der Elektronen an zufällig verteilten Verunreinigungen zu stochastischen Fluktuationen im Widerstand. Im zweiten Fall bewegen sich die Elektronen ungehindert und werden an der Geometrie des Systems gestreut. Diese Streuung kann zu chaotischer Bewegung führen, die mit beliebiger Empfindlichkeit von den Anfangsbedingungen abhängt. Im Widerstand des Systems äußert sich chaotische Bewegung in scheinbar irregulären Fluktuationen als Funktion des Magnetfeldes. Im allgemeinen ist der Einfluß einer äußeren, zeitabhängigen Störung  auf ein quantenmechanisches System durch die Übergangswahrscheinlichkeiten aus einem Ausgangszustand mit Wellenzahl k in andere Zustände mit Wellenzahl k’ gegeben (vgl. Abb. 1). Die Summe aller Übergangswahrscheinlichkeiten in die möglichen Endzustände ist in klassisch chaotischen Systemen eine als Funktion der Wellenzahl stark fluktuierende Größe C (k), wie beispielsweise in Abb. 2 gezeigt. Es stellt sich nun die Frage, ob sich trotz des scheinbar irregulären Verhaltens einfache Gesetzmäßigkeiten dieser Funktion erkennen lassen. Besteht beispielsweise ein Zusammenhang zwischen den Funktionswerten bei zwei verschiedenen Wellenzahlen k1 und k2 oder bei k1 und k3 in Abb. 2? In welchen Fällen läßt er sich theoretisch beschreiben? Solange k1 sich nur wenig von k2 unterscheidet, bestehen universelle Gesetzmäßigkeiten; man spricht in diesem Fall von universellen kurzreichweitigen Korrelationen: sie sind von gleicher Beschaffenheit für völlig verschiedene chaotische Systeme. Solche Korrelationen können mit Hilfe der Theorie der Zufallsmatrizen modelliert werden. Unterscheidet sich k1 stark von k3 , so spricht man von langreichweitigen Korrelationen. Langreichweitige Korrelationen sind systemspezifisch. Aussagen sind dann im Rahmen der Theorie der Zufallsmatritzen nicht möglich. Abgesehen von Symmetrieüberlegungen bleiben systemspezifische Eigenschaften in diesem Ansatz unberücksichtigt. Ziel unserer Untersuchungen ist es, die langreichweitigen Korrelationen in C (k) für ein Modellsystem theoretisch zu verstehen. Dabei gehen wir davon aus, daß sich die Bewegung eines Elektrons in einer Heterostruktur durch die freie Bewegung eines Massenpunktes in einem berandeten Gebiet beschreiben läßt. Bei der Reflektion des Massenpunktes am Rand gilt das Brechungsgesetz, demzufolge Einfalls- gleich Reflektionswinkel ist. Wählt man nun für den Rand die Form einer Pascalschen Schnecke (vgl. Abb.3), dann ist die klassische Bewegung in dem so definierten Gebiet chaotisch. Wir gehen nun davon aus, daß bei der Beschreibung hochangeregter Zustände (dies entspricht großen Wellenzahlen) Aspekte der klassischen Bewegung von besonderer Bedeutung sind. Infolgedessen können die Fluktuationen C (k) im Rahmen einer Entwicklung im Planckschen Wirkungsquantum berechnet werden (semiklassische Theorie von Gutzwiller). Dabei zeigt sich, daß die langreichweitigen Korrelationen in C (k) durch die kürzesten klassischen periodischen Bahnen bestimmt werden. Die klassischen periodischen Bahnen sind stark von systemspezifischen Eigenschaften beeinflußt, wie etwa der Form des Randes. Langreichweitige Korrelationen sind daher nicht universell. Die Rolle der periodischen Bahnen in C (k) zeigt sich am deutlichsten im Fourierspektrum der Fluktuationen. Da die zur Wellenzahl konjugierte Größe die Dimension einer Länge L hat, ist das Fourierspektrum ein Längenspektrum. Abb. 2 zeigt ein typisches Längenspektrum und macht damit deutlich, daß charakteristische Maxima im Längenspektrum gerade bei den Längen der periodischen Bahnen auftreten. Darüber hinaus lassen sich auch die Amplituden der Maxima berechnen. Insgesamt wird deutlich, daß die semiklassische Näherung eine quantitative Beschreibung von Übergangswahrscheinlichkeiten klassisch chaotischen Systemen erlaubt, die einer äußeren, zeitabhängigen Störung ausgesetzt ist. Mit Hilfe des hier dargestellten Verfahrens sollte es deshalb möglich sein, auch Fluktuationen in irregulären Molekülspektren zu untersuchen ( Mehlig). Bildunterschriften Abb.1: Eine äußere Störung  induziert Übergänge vom Zustand k in andere Zustände k’. Abb.2: Fluktuationen C (k) als Funktion der Wellenzahl k (oben) und deren Längenspektrum C (L) mit ausgewählten periodischen Bahnen (unten). Abb.3: Bewegung eines Massenpunktes in der Pascalschen Schnecke. Bei der Reflektion am Rand gilt Einfalls- gleich Reflektionswinkel. Elektronische Korrelationen in Halbleitern Obwohl Halbleiter wie Silizium oder Galliumarsenid seit Jahrzehnten in der Elektroindustrie benutzt werden, um Bauelemente für Computer herzustellen, ist das Verhalten der Elektronen in diesen Substanzen noch immer nicht ganz verstanden. Ausgangspunkt für das Verständnis der Elektronenstruktur und damit wichtiger Materialeigenschaften ist der elektronische Grundzustand. Er beschreibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und das Verhalten der Elektronen am absoluten Temperaturnullpunkt. Die Schwierigkeit, den Grundzustand in einem Festkörper zu bestimmen, beruht darauf, daß die Elektronen der Coulomb-Wechselwirkung unterliegen, d.h. sich gegenseitig abstoßen. Nur das Problem von zwei wechselwirkenden Elektronen ist exakt lösbar, in einem Kubikzentimeter eines Festkörpers befinden sich aber rund 1023 Elektronen, so daß man ein Vielteilchenproblem zu behandeln hat. Das konzeptionell einfachste Näherungsverfahren ist, das Vielteilchenproblem auf ein Einteilchenproblem zu reduzieren, indem die Wechselwirkung der Elektronen untereinander nur gemittelt durch ein effektives Potential beschrieben wird. Berücksichtigt man dabei das von Pauli für Fermionen postulierte Doppelbesetzungsverbot (zwei Elektronen mit gleichem Spin dürfen sich nicht am selben Ort aufhalten), dann hat man das von Hartree und Fock in den zwanziger Jahren entwickelte Verfahren zur Bestimmung des Grundzustandes, das erst seit wenigen Jahren numerisch auch für den Festkörper durchführbar ist. Obwohl dies ein großer Fortschritt in der Behandlung von ausgedehnten Systemen ist, sieht man im Vergleich zum Experiment immer noch eine deutliche Abweichung. Die Bindungsenergie, also die Energie, die frei wird, wenn sich der Festkörper aus freien Atomen zusammensetzt, wird in einer Hartree-Fock-Rechnung immer unterschätzt. So weicht bei Silizium die berechnete Bindungsenergie um 34%, bei Galliumarsenid sogar um 47% vom experimentellen Wert ab. Die Ursache dieser Fehler ist seit langem bekannt und wird mit dem Schlagwort “elektronische Korrelationen” beschrieben. Ein Elektron bewegt sich nicht nach der mittleren Verteilung aller anderen sondern nach der tatsächlichen. Auf diese Weise können sich die Elektronen gegenseitig aus dem Weg gehen und so ihre Abstoßung verringern. Die Beschreibung dieser korrelierten Bewegung ist immer noch eine große Herausforderung für Chemiker und Physiker. In Zusammenarbeit mit dem Institut für theoretische Chemie der Universität Stuttgart wurde eine Methode entwickelt, die, inspiriert durch Fortschritte bei der Berechnung von Molekülen, den Korrelationsanteil des elektronischen Grundzustandes in Halbleitern mit großer Genauigkeit bestimmt. In Halbleitern ist ein Atom von vier weiteren Atomen in tetraedrischer Anordnung umgeben. Für Elementhalbleiter bestehend aus einer Atomsorte (z.B. Silizium) ergibt sich die Diamantstruktur (Abb. 1), für III-V-Halbleiter, die ihren Namen von der Zusammensetzung aus einem III-wertigen (z.B. Gallium) und einem V-wertigen (z.B. Arsen) Atom haben, die Zinkblendestruktur (wie Diamantstruktur, nur im Wechsel ein III-wertiges und ein V-wertiges Atom). Gemeinsam ist diesen Halbleiterstrukturen, daß sich die Elektronen in Bindungen zwischen den Atomen aufhalten und sich nicht wie in Metallen nahezu frei bewegen können. Darum versagen auch hier die Näherungen, die eine homogene Elektronenverteilung voraussetzen. Wir nutzen gerade die Tatsache einer lokalisierten Bindung aus, um die Korrelationen in Halbleitern zu beschreiben. Als einfachsten Ansatz würde man unabhängige Bindungen betrachten. Man berücksichtigt deshalb zuerst nur die Elektron-Elektron-Wechselwirkung nur für die zwei Elektronen in einer Bindung. Mit dieser ersten Näherung erhält man circa 35% der Korrelationsenergie, die als Differenz zwischen der experimentellen und der Hartree-Fock-Energie definiert ist. Es ist klar, daß man die Wechselwirkung zwischen benachbarten Bindungen nicht vernachlässigen kann. Sie werden um so wichtiger, je freier sich die Elektronen bewegen können. Nimmt man zu den Korrelationen in einer Bindung auch noch diejenigen hinzu, die durch Wechselwirkung mit den Elektonen in benachbarten Bindungen entstehen, so erreicht man circa 70% der Korrelationsenergie. Sukzessive kann man nun die Methode erweitern, indem man immer weiter entfernte Bindungen “mit korreliert” und indem man Wechselwirkungen von Elektronen in drei und mehr Bindungen berücksichtigt (Inkrementenmethode). So kann man bis zu 90% der Korrelationsenergie berechnen. Das Funktionieren der Methode, die auf Projektionstechniken basiert, beruht darauf, daß sich das gegenseitige Ausweichen der Elektronen auf eine lokale Umgebung beschränkt, und so weit voneinander entfernte Elektronen nur noch vernachlässigbaren Einfluß auf die Korrelationsenergie haben. Nützt man diese Bedingungen aus, so kann man die Beiträge zur Korrelationsenergie auch in endlichen Systemen (Cluster) bei vorgegebener Kristallstruktur berechnen. Dies hat den Vorteil, daß man quantenchemische Rechenprogramme verwenden kann, die für endliche Systeme sehr exakte numerische Resultate liefern. So kann man diese quantenchemische Genauigkeit auch für Berechnungen des Grundzustandes von Festkörpern erzielen. Das Verfahren wurde bisher auf die Elementhalbleiter, bei Diamant sogar auf angeregte Zustände, auf die III-V-Halbleiter sowie auf ionische Festkörper (z.B. Magnesiumoxid) angewandt. Neben der Aufgabe, möglichst exakte Grundzustandseigenschaften für Halbleiter zu berechnen, nutzen wir die Methode auch, um allgemein ein tieferes Verständnis über Korrelationen zu bekommen. Ziel ist es, zu einer einheitlichen Beschreibung von schwach korrelierten (z.B. Halbleiter) und stark korrelierten (z.B. Hochtemperatursupraleiter, schwere Fermionen-Systeme) Elektronensysteme zu kommen. (Paulus, Doll, Gräfenstein, Dolg, Stoll, Fulde) Bildunterschrift Abb.1: Diamantstruktur: Die schraffierten Atome zeigen einen von vielen Clustern, mit deren Hilfe die Inkremente der Korrelationsbeiträge der Bindungsenergie bestimmt werden. Anschriften Bayreuther Straße 40, Haus 16 01187 Dresden Tel. 0351/463-7665 Telefax 0351/ 463-7279 Außenstelle Stuttgart (bis 1997) Heisenbergstraße 1, 70569 Stuttgart Postfach 80 06 65, 70506 Stuttgart Tel. 0711/689-1581 Telefax 0711/689-1582