Nachwuchsgruppe
Mesoskopische Systeme
(Dr. Klaus Richter)
Arbeitsgebiete
Qantenchaostheorie und semiklassische Methoden und deren Anwendung auf mesoskopische elektronische und optische Systeme; Quanten-Eigenschaften von integrablen und chaotischen Systemen; Effekte elektronischer Wechselwirkung in ballistischen Quantenpunkten und ungeordneten Systemen; Quantentransport in Mikrostrukturen und Übergittern; Thermodynamik mesoskopischer Systeme; magnetische Eigenschaften von Quantenpunkten; Andreev-Billards; Absorption von Strahlung in Quantenpunkten und Übergittern; Transport in starken zeitabhängigen Feldern; Spinsysteme; Wellen- und Strahlenoptik von Mikroresonatoren und Mikrolasern.
Aktueller Forschungsschwerpunkt
Chaos in Quantenpunkten: Mesoskopische Andreev-Billards
Als mesoskopisch bezeichnen wir Systeme, die bezüglich ihrer physikalischen Eigenschaften und der sie auszeichnenden Phänomene im Grenzbereich zwischen der mikroskopischen Quantenwelt und der klassischen makroskopischen Physik angesiedelt sind. Mesoskopisches Verhalten spiegelt daher einerseits Kohärenzeffekte der Quanten- bzw. Wellenmechanik wider, ist aber andererseits oft gleichzeitig einer klassischen statistischen Beschreibung zugänglich. Beispiele komplexer mesoskopischer Systeme finden sich in diversen Gebieten der Physik: Streuprozesse an Atomkernen, hochangeregte Mehr-Elektronen-Atome, Cluster, elektronische Oberflächenwellen in ``Quantenkorallen'', ``chaotisches'' Licht in Mikrolasern, oder aber Halbleitermikrostrukturen.
Letztere werden experimentell dadurch realisiert, daß man zunächst an der Grenzfläche einer aus zwei Halbleitermaterialien (z.B. GaAs und GaAlAs) bestehenden Schichtstruktur Elektronen sammelt, deren Bewegung dadurch praktisch zweidimensional ist. Durch negativ geladene Elektroden und deren abstoßende Potentiale lassen sich die Elektronen innerhalb der Ebene zusätzlich in nano- bis mikrometergroße Raumbereiche wohldefinierter Geometrie einschließen, sogenannten Quantenpunkten oder künstlichen Atomen. Aufgrund der großen Reinheit der verwendeten Materialien ist die Bewegung der Elektronen in derartigen künstlichen Nano-Käfigen nicht mehr durch intrinsische Störstellenstreuung, sondern vorwiegend durch Reflexionen an den Käfigwänden bestimmt. In der Näherung unabhängiger Quasiteilchen, die oft erstaunlich gut erfüllt ist, ähnelt die Dynamik der Elektronen einerseits der klassischen Bewegung von Kugeln in einem Billard. Dieses Verhalten ist in Abb. 1 am Beispiel eines ``Elektronenbillards'' mit rauhen, unregelmäßig reflektierenden Wänden, wie sie in Experimenten auftreten können, illustriert. Andererseits werden die Elektronen durch quantenmechanische Wellenfunktionen beschrieben, die sich bei sehr niedrigen Temperaturen von einigen Kelvin phasenkohärent auf Mikrometerskalen über die Käfige erstrecken und Interferenzeffekte bedingen, ähnlich wie Wasserwellen auf einem Teich. Diese führen zu einer Vielzahl neuartiger mesoskopischer Phänomene, die am Institut theoretisch untersucht werden, wie beispielsweise Quantenoszillationen in der Leitfähigkeit, die nicht mehr durch das Ohmsche Gesetz beschrieben wird oder ein stark erhöhter Magnetismus im Vergleich zum ausgedehnten makroskopischen Festkörper.
Zur adäquaten Beschreibung des erwähnten komplementär klassisch-quantenmechanischen Verhaltens eignen sich neben der random matrix theory insbesondere theoretische semiklassische Verfahren, die von uns für mesoskopische Systeme weiterentwickelt werden. Sie stellen einen direkten Zusammenhang zwischen klassischen Elektronenbahnen und Quanteninterferenzeffekten her. Durch sogenannte Spurformeln, die ursprünglich von Gutzwiller für die Dichte von Energieniveaus hergeleitet wurden, lassen sich quantenmechanische spektrale Größen durch Summation von Beiträgen klassischer Bahnen berechnen. Dieser Zugang erlaubt die Interpretation und Berechnung von Quantenphänomenen in komplexen Systemen, für die unter Umständen numerische Rechnungen zu aufwendig oder gar unmöglich werden. Insbesondere sagt die semiklassische Theorie voraus, daß sich Unterschiede in der klassischen Dynamik mesoskopischer Systeme in deren entsprechenden Quanteneigenschaften manifestieren; im Falle klassisch chaotischer Dynamik spricht man von Quantenchaos.
Abb. 1:
Skizze eines Elektronenbillards mit rauhen Wänden, die dazu führen, daß klassische Elektronenbahnen, die an den Wänden reflektiert werden, sich chaotisch verhalten. An der Grenzfläche des normalleitenden Billards (N) mit einem Supraleiter (S) findet Andreev-Reflexion (siehe Abb. 3) statt.
Wir illustrieren Ideen dieser ``postmodernen'' Quantentheorie im folgenden am Beispiel eines
Halbleiter-Quantenpunktes, der in Verbindung mit einem Supraleiter steht. Derartige Hybridstrukturen lassen sich heutzutage auf mesoskopischer Skala experimentell realisieren und weisen neuartige physikalische Effekte auf. Als Modell dient die in Abb. 1 dargestellte normalleitende Billardstruktur (N), die am linken unteren Rand mit einem Supraleiter (S) in Verbindung steht. Ein Supraleiter zeichnet sich unter anderem dadurch aus, daß in einem gewissen Energiebereich oberhalb seiner Fermi-Energie keine Energieniveaus liegen können. Aber auch schon die Nähe eines Supraleiters führt in einem Normalleiter, in unserem Fall dem Billard, zu einer ``Lücke'' in der Dichte der Energieniveaus, ein Effekt der seit langem als proximity-Effekt in der Theorie der Supraleitung bekannt ist. Von uns durchgeführte numerische quantenmechanische Rechnungen für die Struktur aus Abb. 1 zeigen, wie in Abb. 2a dargestellt, eine solche Lücke in der Niveaudichte nahe der Fermi-Energie ($E=0$): Die durchgezogene blaue Kurve zeigt das Resultat nach Mittelung über ein Ensemble ähnlicher Billards; hier wird also der statistische Aspekt mesoskopischer Größen offensichtlich. Abb. 2b zeigt entsprechende quantenmechanische Ergebnisse für das Beispiel regulärer rechteckiger Elektronenbillards, d.h. für die gleiche Geometrie wie in Abb. 1, wobei nun die rauhen durch glatte Wände ersetzt sind. Wie man erkennt, ist die Reduktion der Niveaudichte nahe der Fermi-Energie nicht so stark ausgeprägt wie für den rauhen Quantenpunkt, die Niveaudichte wächst linear an.
Abb. 2:
Reduzierte Energieniveaudichte eines Andreev-Billards nahe der Fermi-Energie (E=0). Für ein chaotisches Billard (a) bildet sich eine wirkliche Lücke heraus, während für ein reguläres Billard (z.B. eine Rechteckgeometrie) ein linearer Anstieg der Niveaudichte erkennbar ist (b). Die blauen Kurven ergeben sich durch Mittelung der quantenmechanischen Ergebnisse (Punkte). Sie stimmen gut mit semiklassischen Rechnungen (rote Kurven) überein.
Ein besonders anschauliches Verständnis für das qualitativ unterschiedliche Verhalten der Energielücke in den Abb. 2a und 2b gewinnt man, wie Beenakker und Mitarbeiter vorgeschlagen haben, mit Hilfe der zur quantenmechanischen Beschreibung komplementären klassischen Mechanik. Dazu muß man wissen, daß die Reflexion klassischer Teilchen an der Grenzfläche zwischen Supraleiter und normalleitendem Billard einem ganz besonderem Gesetz unterliegt: Es gilt nicht das normale Reflexionsgesetz, demzufolge Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel ist; stattdessen wird ein einlaufendes Elektron in ein Loch, ein Teilchen mit entgegengesetzter Ladung, umgewandelt, welches entlang der ursprünglichen Elektronenbahn zurückläuft (siehe Abb. 3). Diesen Mechanismus nennt man Andreev-Reflexion. Die im Vergleich zu einem isolierten Billard auftretende Lücke in der Energieniveaudichte nahe der Fermi-Energie muß also etwas zu tun haben mit Andreev-reflektierten periodischen Elektron-Loch-Bahnen, die an der Grenzfläche beginnen und enden (Abb. 1).
Abb. 3:
Mechanismus der Andreev-Reflexion: Im Gegensatz zum gewöhnlichen Reflexionsgesetz (a), wird bei der Andreev-Reflexion (b) ein einlaufendes Elektron (e) in ein Loch (h) umgewandelt, das sich entlang der Elektronenbahn zurückbewegt.
Man kann nun zeigen, daß die Energielücke direkt mit der Wahrscheinlichkeit zusammenhängt,
daß eine klassische Teilchenbahn, die an der Grenzfläche zum Supraleiter beginnt, nach einer gegebenen Zeit wieder dorthin zurückführt. Bezüglich dieser Rückkehrwahrscheinlichkeit unterscheiden sich nun Andreev-Billards mit regulärer und chaotischer klassischer Dynamik signifikant: Das rauhe Billard der Abb. 1 repräsentiert ein chaotisches System: Die unregelmäßigen Wände führen dazu, daß nach wenigen (normalen) Reflexionen an der Berandung ursprünglich benachbarte Bahnen weit auseinander gelaufen sind. In einem solchen chaotischen System nimmt die Rückkehrwahrscheinlichkeit sehr schnell (exponentiell) mit der Bahnlänge ab. Dagegen nimmt sie in einem regulären System wie dem gewöhnlichen Rechteckbillard wesentlich langsamer ab. Mit Hilfe numerischer Simulationen für die Rückkehrwahrscheinlichkeiten haben wir die Niveaudichten nahe der Fermi-Energie semiklassisch berechnet. Die roten Kurven in Abb. 2a,b zeigen die Ergebnisse für die beiden Modellsysteme. In der Tat wird sowohl die Lücke in der Niveaudichte für das chaotische Andreev-Billard und der lineare Anstieg im Fall des regulären Systems reproduziert. Diese Rechnungen implizieren, daß sich klassisches Chaos der Elektronen in einer beliebigen Halbleitermikrostruktur dadurch experimentell detektieren läßt, daß man einen Supraleiter in Kontakt mit der Struktur bringt und die Energienivaudichte auf die Ausbildung einer Energielücke hin untersucht.
Die Frage, inwiefern die klassische Dynamik die Quantenmechanik komplexer Systeme bestimmt, ist bisher vornehmlich im Modell unabhängiger Quasiteilchen untersucht worden. Es stellt sich das längerfristige Ziel, derartige Quantenchaostheorien auf wechselwirkende mesoskopische Systeme zu verallgemeinern. (Richter, Ihra, Leadbeater)